IP n°2 pour le 12 novembre

exercice 3: question 1°b) je n'arrive pas à trouver lim de f(x)-x=0 en + l'infini et je trouve f(x)-x=(1-x)\(1+1\e-x)
question 3°c) je n'arrive pas à que f(alpha) peut s'écrire a*alpha+b
exercice 5: question 1° je bloque pour prouver que ex est supèrieur ou égale à 1+x

Je ne trouve pas la limite de fx = (x+ exp (-x) )*/ (1 + exp (-x)) en moins l'infini

j'ai l'impression de chercher dans le noir alors que la réponse n'est pas loin..
Merci !!!!

Réponse à lucille :

Multiplions par exp(x) en haut et en bas...
(Ce qui revient à mettre exp(-x) en facteur en haut et en bas, soit le terme qui l'emporte).
Et n'oublions pas que la limite en - infini de x*exp(x) est 0. (Thm du cours)

Réponse à Beriogerg :

Ex 3 question 1° b.
Perso je trouve f(x) - x = (exp(-x)-x*exp(-x))/(1+exp(-x)). C'est le résultat sans transformation.
Le seul problème est le x*exp(-x) qui crée une indétermination. Il suffit de remarquer que x* exp(-x) = x/exp(x), c'est donc l'inverse de exp(x)/x qui tend vers + infini. ( théorème de cours) Donc x* exp(-x) tendra vers 0. La forme que tu proposes est factorisée et permets d'étudier le signe pour trouver la position.
Ex 3 3° c.
On touve exp(-alpha) = -1/alpha à cause de g(alpha) = 0.
Donc dans f(alpha) on remplace les exp(-alpha) et on trouve une fraction avec des alpha. Réduction au même dénominateur et calculs on doit trouver f(alpha) = alapha + 1.
Ex 5 Question 1°
On pose d(x) = exp(x) -1 -x.
On dérive. On étudie le signe de la dérivée. On trouve donc le tableau de variation de d. Dans ce tableau on prouve que d admet un minimum qui vaut 0 pour x = 0. Donc d est toujours positive....

bonjour,comment fait on pour determiner f '(1/2) grafiquement dans l'exercice 1 svp?

Tu sais que la dérivé c'est le coefficient directeur de la tangent au point 1/2.
Or la tangente au point 1/2 à pour coefficient directeur 0 donc f'(1/2)=0

Rémy et moi on a cherché la dernière question de l'exercice 5 et on n'arrive pas à encadrer la fonction pour utiliser le théorème des gendarmes......

OK pour f'(1/2) et de même on trouve f'(0) = -1. La lecture du corrigé du DS 2 est intéressante aussi...

Dernière question de l'exercice 5 :
En 1° on trouve exp(x) > 1 + x
En 2° On doit trouver d(x) négative sur ]-infini ; ln 2]. On trouve en étudiant les variations de d, que
d admet en 0 un maximum qui vaut 0. Donc d(x) négative.
Conclusion sur ]-infini ; ln 2], 1 + x < exp(x) < 1 + x + x².
Et donc 0 < exp(x) - 1 - x < x²
On multiplie de partout par 1/(x*Rac(x))
On trouve 0 < (exp(x) - 1 - x)/(x * Rac(x)) < Rac( x).
D'où l'utilisation du thm des gendarmes lorsque x tend vers 0.

Bonjour, ce matin vous aviez dit que l'on ne peut pas écrire :

Lim (x --> + infini ) de - x * e^-x = 0 sans justifier.

Mais je n'ai pas trop compris comment il fallait justifier avant ...

Merci, Bonne journée.

Concernant Lim (x --> + infini ) de - x * e^-x = 0 .
La limte dans le cours c'est lim en + infini de exp(x) / x = +infini.
Or x * exp(-x) = x / exp(x) et donc l'inverse du théorème de cours.
Donc si exp(x) / x tend vers + infini son inverse tend vers 0. "1/infini = 0".
D'où le résultat 0.

Merci